Theorem dochkrshp2

Description: Properties of the closure of the kernel of a functional. (Contributed by NM, 1-Jan-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	dochkrshp2.h	|- H = ( LHyp ` K )
	dochkrshp2.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
	dochkrshp2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
	dochkrshp2.v	|- V = ( Base ` U )
	dochkrshp2.y	|- Y = ( LSHyp ` U )
	dochkrshp2.f	|- F = ( LFnl ` U )
	dochkrshp2.l	|- L = ( LKer ` U )
	dochkrshp2.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
	dochkrshp2.g	|- ( ph -> G e. F )
Assertion	dochkrshp2	|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochkrshp2.h	|- H = ( LHyp ` K )
2		dochkrshp2.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
3		dochkrshp2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4		dochkrshp2.v	|- V = ( Base ` U )
5		dochkrshp2.y	|- Y = ( LSHyp ` U )
6		dochkrshp2.f	|- F = ( LFnl ` U )
7		dochkrshp2.l	|- L = ( LKer ` U )
8		dochkrshp2.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9		dochkrshp2.g	|- ( ph -> G e. F )
10	1 2 3 4 5 6 7 8 9	dochkrshp	|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) )
11	1 2 3 6 5 7 8 9	dochlkr	|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )
12	10 11	bitrd	|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )