# Metamath Proof Explorer

## Theorem dochlkr

Description: Equivalent conditions for the closure of a kernel to be a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014)

Ref Expression
Hypotheses dochlkr.h
`|- H = ( LHyp ` K )`
dochlkr.o
`|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )`
dochlkr.u
`|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )`
dochlkr.f
`|- F = ( LFnl ` U )`
dochlkr.y
`|- Y = ( LSHyp ` U )`
dochlkr.l
`|- L = ( LKer ` U )`
dochlkr.k
`|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )`
dochlkr.g
`|- ( ph -> G e. F )`
Assertion dochlkr
`|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dochlkr.h
` |-  H = ( LHyp ` K )`
2 dochlkr.o
` |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )`
3 dochlkr.u
` |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )`
4 dochlkr.f
` |-  F = ( LFnl ` U )`
5 dochlkr.y
` |-  Y = ( LSHyp ` U )`
6 dochlkr.l
` |-  L = ( LKer ` U )`
7 dochlkr.k
` |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )`
8 dochlkr.g
` |-  ( ph -> G e. F )`
9 eqid
` |-  ( Base ` U ) = ( Base ` U )`
10 1 3 7 dvhlmod
` |-  ( ph -> U e. LMod )`
11 9 4 6 10 8 lkrssv
` |-  ( ph -> ( L ` G ) C_ ( Base ` U ) )`
12 1 3 9 2 dochocss
` |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( L ` G ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )`
13 7 11 12 syl2anc
` |-  ( ph -> ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )`
` |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )`
15 1 3 7 dvhlvec
` |-  ( ph -> U e. LVec )`
` |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> U e. LVec )`
` |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> U e. LMod )`
18 simpr
` |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y )`
19 9 5 17 18 lshpne
` |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= ( Base ` U ) )`
20 19 ex
` |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= ( Base ` U ) ) )`
21 9 5 4 6 15 8 lkrshpor
` |-  ( ph -> ( ( L ` G ) e. Y \/ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) )`
22 21 ord
` |-  ( ph -> ( -. ( L ` G ) e. Y -> ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) )`
23 2fveq3
` |-  ( ( L ` G ) = ( Base ` U ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( Base ` U ) ) ) )`
` |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( Base ` U ) ) ) )`
` |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )`
26 1 3 2 9 25 dochoc1
` |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( Base ` U ) ) ) = ( Base ` U ) )`
27 24 26 eqtrd
` |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( Base ` U ) )`
28 27 ex
` |-  ( ph -> ( ( L ` G ) = ( Base ` U ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( Base ` U ) ) )`
29 22 28 syld
` |-  ( ph -> ( -. ( L ` G ) e. Y -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( Base ` U ) ) )`
` |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= ( Base ` U ) -> ( L ` G ) e. Y ) )`
31 20 30 syld
` |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y -> ( L ` G ) e. Y ) )`
32 31 imp
` |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( L ` G ) e. Y )`
33 5 16 32 18 lshpcmp
` |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) <-> ( L ` G ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) ) )`
34 14 33 mpbid
` |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( L ` G ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )`
35 34 eqcomd
` |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) )`
36 35 32 jca
` |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) )`
37 36 ex
` |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )`
38 eleq1
` |-  ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y <-> ( L ` G ) e. Y ) )`
39 38 biimpar
` |-  ( ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y )`
40 37 39 impbid1
` |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )`