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Theorem dochlkr

Description: Equivalent conditions for the closure of a kernel to be a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014)

Ref Expression
Hypotheses dochlkr.h
|- H = ( LHyp ` K )
dochlkr.o
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dochlkr.u
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochlkr.f
|- F = ( LFnl ` U )
dochlkr.y
|- Y = ( LSHyp ` U )
dochlkr.l
|- L = ( LKer ` U )
dochlkr.k
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dochlkr.g
|- ( ph -> G e. F )
Assertion dochlkr
|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dochlkr.h
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 dochlkr.o
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
3 dochlkr.u
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4 dochlkr.f
 |-  F = ( LFnl ` U )
5 dochlkr.y
 |-  Y = ( LSHyp ` U )
6 dochlkr.l
 |-  L = ( LKer ` U )
7 dochlkr.k
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 dochlkr.g
 |-  ( ph -> G e. F )
9 eqid
 |-  ( Base ` U ) = ( Base ` U )
10 1 3 7 dvhlmod
 |-  ( ph -> U e. LMod )
11 9 4 6 10 8 lkrssv
 |-  ( ph -> ( L ` G ) C_ ( Base ` U ) )
12 1 3 9 2 dochocss
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( L ` G ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
13 7 11 12 syl2anc
 |-  ( ph -> ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
14 13 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
15 1 3 7 dvhlvec
 |-  ( ph -> U e. LVec )
16 15 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> U e. LVec )
17 10 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> U e. LMod )
18 simpr
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y )
19 9 5 17 18 lshpne
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= ( Base ` U ) )
20 19 ex
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= ( Base ` U ) ) )
21 9 5 4 6 15 8 lkrshpor
 |-  ( ph -> ( ( L ` G ) e. Y \/ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) )
22 21 ord
 |-  ( ph -> ( -. ( L ` G ) e. Y -> ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) )
23 2fveq3
 |-  ( ( L ` G ) = ( Base ` U ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( Base ` U ) ) ) )
24 23 adantl
 |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( Base ` U ) ) ) )
25 7 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
26 1 3 2 9 25 dochoc1
 |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( Base ` U ) ) ) = ( Base ` U ) )
27 24 26 eqtrd
 |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( Base ` U ) )
28 27 ex
 |-  ( ph -> ( ( L ` G ) = ( Base ` U ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( Base ` U ) ) )
29 22 28 syld
 |-  ( ph -> ( -. ( L ` G ) e. Y -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( Base ` U ) ) )
30 29 necon1ad
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= ( Base ` U ) -> ( L ` G ) e. Y ) )
31 20 30 syld
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y -> ( L ` G ) e. Y ) )
32 31 imp
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( L ` G ) e. Y )
33 5 16 32 18 lshpcmp
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) <-> ( L ` G ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) ) )
34 14 33 mpbid
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( L ` G ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
35 34 eqcomd
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) )
36 35 32 jca
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) )
37 36 ex
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )
38 eleq1
 |-  ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y <-> ( L ` G ) e. Y ) )
39 38 biimpar
 |-  ( ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y )
40 37 39 impbid1
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )