Theorem eldmres

Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jan-2019)

	Ref	Expression
Assertion	eldmres	|- ( B e. V -> ( B e. dom ( R |` A ) <-> ( B e. A /\ E. y B R y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg	|- ( B e. V -> ( B e. dom ( R |` A ) <-> E. y B ( R |` A ) y ) )
2		brres	|- ( y e. _V -> ( B ( R |` A ) y <-> ( B e. A /\ B R y ) ) )
3	2	elv	|- ( B ( R |` A ) y <-> ( B e. A /\ B R y ) )
4	3	exbii	|- ( E. y B ( R |` A ) y <-> E. y ( B e. A /\ B R y ) )
5		19.42v	|- ( E. y ( B e. A /\ B R y ) <-> ( B e. A /\ E. y B R y ) )
6	4 5	bitri	|- ( E. y B ( R |` A ) y <-> ( B e. A /\ E. y B R y ) )
7	1 6	bitrdi	|- ( B e. V -> ( B e. dom ( R |` A ) <-> ( B e. A /\ E. y B R y ) ) )