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Theorem elfz1

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005)

Ref Expression
Assertion elfz1 
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fzval 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } )
2 1 eleq2d 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } ) )
3 breq2 
 |-  ( j = K -> ( M <_ j <-> M <_ K ) )
4 breq1 
 |-  ( j = K -> ( j <_ N <-> K <_ N ) )
5 3 4 anbi12d 
 |-  ( j = K -> ( ( M <_ j /\ j <_ N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6 5 elrab 
 |-  ( K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7 3anass 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8 6 7 bitr4i 
 |-  ( K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) )
9 2 8 syl6bb 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )