Theorem elintrab

Description: Membership in the intersection of a class abstraction. (Contributed by NM, 17-Oct-1999)

	Ref	Expression
Hypothesis	elintab.ex	|- A e. _V
Assertion	elintrab	|- ( A e. |^| { x e. B | ph } <-> A. x e. B ( ph -> A e. x ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elintab.ex	|- A e. _V
2	1	elintab	|- ( A e. |^| { x | ( x e. B /\ ph ) } <-> A. x ( ( x e. B /\ ph ) -> A e. x ) )
3		impexp	|- ( ( ( x e. B /\ ph ) -> A e. x ) <-> ( x e. B -> ( ph -> A e. x ) ) )
4	3	albii	|- ( A. x ( ( x e. B /\ ph ) -> A e. x ) <-> A. x ( x e. B -> ( ph -> A e. x ) ) )
5	2 4	bitri	|- ( A e. |^| { x | ( x e. B /\ ph ) } <-> A. x ( x e. B -> ( ph -> A e. x ) ) )
6		df-rab	|- { x e. B | ph } = { x | ( x e. B /\ ph ) }
7	6	inteqi	|- |^| { x e. B | ph } = |^| { x | ( x e. B /\ ph ) }
8	7	eleq2i	|- ( A e. |^| { x e. B | ph } <-> A e. |^| { x | ( x e. B /\ ph ) } )
9		df-ral	|- ( A. x e. B ( ph -> A e. x ) <-> A. x ( x e. B -> ( ph -> A e. x ) ) )
10	5 8 9	3bitr4i	|- ( A e. |^| { x e. B | ph } <-> A. x e. B ( ph -> A e. x ) )