Theorem elo12r

Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014)

	Ref	Expression
Assertion	elo12r	|- ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ ( C e. RR /\ M e. RR ) /\ A. x e. A ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M ) ) -> F e. O(1) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1	|- ( y = C -> ( y <_ x <-> C <_ x ) )
2	1	imbi1d	|- ( y = C -> ( ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) <-> ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) ) )
3	2	ralbidv	|- ( y = C -> ( A. x e. A ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) <-> A. x e. A ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) ) )
4		breq2	|- ( m = M -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m <-> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M ) )
5	4	imbi2d	|- ( m = M -> ( ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) <-> ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M ) ) )
6	5	ralbidv	|- ( m = M -> ( A. x e. A ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) <-> A. x e. A ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M ) ) )
7	3 6	rspc2ev	|- ( ( C e. RR /\ M e. RR /\ A. x e. A ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M ) ) -> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) )
8	7	3expa	|- ( ( ( C e. RR /\ M e. RR ) /\ A. x e. A ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M ) ) -> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) )
9	8	3adant1	|- ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ ( C e. RR /\ M e. RR ) /\ A. x e. A ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M ) ) -> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) )
10		elo12	|- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( F e. O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) ) )
11	10	3ad2ant1	|- ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ ( C e. RR /\ M e. RR ) /\ A. x e. A ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M ) ) -> ( F e. O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) ) )
12	9 11	mpbird	|- ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ ( C e. RR /\ M e. RR ) /\ A. x e. A ( C <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M ) ) -> F e. O(1) )