Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elo1mpt.1 |
|- ( ph -> A C_ RR ) |
2 |
|
elo1mpt.2 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC ) |
3 |
|
elo1d.3 |
|- ( ph -> C e. RR ) |
4 |
2
|
lo1o12 |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. <_O(1) ) ) |
5 |
2
|
abscld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR ) |
6 |
1 5 3
|
ello1mpt2 |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. <_O(1) <-> E. y e. ( C [,) +oo ) E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) ) ) |
7 |
4 6
|
bitrd |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) <-> E. y e. ( C [,) +oo ) E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) ) ) |