Theorem ello1mpt2

Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016)

	Ref	Expression
Hypotheses	ello1mpt.1	|- ( ph -> A C_ RR )
	ello1mpt.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
	ello1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
Assertion	ello1mpt2	|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. ( C [,) +oo ) E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1mpt.1	|- ( ph -> A C_ RR )
2		ello1mpt.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
3		ello1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
4	1 2	ello1mpt	|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
5		rexico	|- ( ( A C_ RR /\ C e. RR ) -> ( E. y e. ( C [,) +oo ) A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. y e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
6	1 3 5	syl2anc	|- ( ph -> ( E. y e. ( C [,) +oo ) A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. y e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
7	6	rexbidv	|- ( ph -> ( E. m e. RR E. y e. ( C [,) +oo ) A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. m e. RR E. y e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
8		rexcom	|- ( E. y e. ( C [,) +oo ) E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. m e. RR E. y e. ( C [,) +oo ) A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) )
9		rexcom	|- ( E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. m e. RR E. y e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) )
10	7 8 9	3bitr4g	|- ( ph -> ( E. y e. ( C [,) +oo ) E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
11	4 10	bitr4d	|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. ( C [,) +oo ) E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )