Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elovmpt3imp.o |
|- O = ( x e. _V , y e. _V |-> ( z e. M |-> B ) ) |
2 |
|
ne0i |
|- ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) -> ( ( X O Y ) ` Z ) =/= (/) ) |
3 |
|
ax-1 |
|- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( X O Y ) ` Z ) =/= (/) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) ) |
4 |
1
|
mpondm0 |
|- ( -. ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X O Y ) = (/) ) |
5 |
|
fveq1 |
|- ( ( X O Y ) = (/) -> ( ( X O Y ) ` Z ) = ( (/) ` Z ) ) |
6 |
|
0fv |
|- ( (/) ` Z ) = (/) |
7 |
5 6
|
eqtrdi |
|- ( ( X O Y ) = (/) -> ( ( X O Y ) ` Z ) = (/) ) |
8 |
|
eqneqall |
|- ( ( ( X O Y ) ` Z ) = (/) -> ( ( ( X O Y ) ` Z ) =/= (/) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) ) |
9 |
4 7 8
|
3syl |
|- ( -. ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( X O Y ) ` Z ) =/= (/) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) ) |
10 |
3 9
|
pm2.61i |
|- ( ( ( X O Y ) ` Z ) =/= (/) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) |
11 |
2 10
|
syl |
|- ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) |