Theorem elrnmpoid

Description: Membership in the range of an operation class abstraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021)

	Ref	Expression
Hypothesis	elrnmpoid.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
Assertion	elrnmpoid	|- ( ( x e. A /\ y e. B /\ A. x e. A A. y e. B C e. V ) -> ( x F y ) e. ran F )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnmpoid.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )
3	2	3ad2ant3	|- ( ( x e. A /\ y e. B /\ A. x e. A A. y e. B C e. V ) -> F Fn ( A X. B ) )
4		simp1	|- ( ( x e. A /\ y e. B /\ A. x e. A A. y e. B C e. V ) -> x e. A )
5		simp2	|- ( ( x e. A /\ y e. B /\ A. x e. A A. y e. B C e. V ) -> y e. B )
6		fnovrn	|- ( ( F Fn ( A X. B ) /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( x F y ) e. ran F )
7	3 4 5 6	syl3anc	|- ( ( x e. A /\ y e. B /\ A. x e. A A. y e. B C e. V ) -> ( x F y ) e. ran F )