Metamath Proof Explorer

Theorem expge0

Description: Nonnegative integer exponentiation with a nonnegative mantissa is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014)

Ref Expression
Assertion expge0 
|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 breq2 
 |-  ( z = A -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ A ) )
2 1 elrab 
 |-  ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
3 ssrab2 
 |-  { z e. RR | 0 <_ z } C_ RR
4 ax-resscn 
 |-  RR C_ CC
5 3 4 sstri 
 |-  { z e. RR | 0 <_ z } C_ CC
6 breq2 
 |-  ( z = x -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ x ) )
7 6 elrab 
 |-  ( x e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
8 breq2 
 |-  ( z = y -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ y ) )
9 8 elrab 
 |-  ( y e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
10 breq2 
 |-  ( z = ( x x. y ) -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ ( x x. y ) ) )
11 remulcl 
 |-  ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
12 11 ad2ant2r 
 |-  ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
13 mulge0 
 |-  ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> 0 <_ ( x x. y ) )
14 10 12 13 elrabd 
 |-  ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
15 7 9 14 syl2anb 
 |-  ( ( x e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ y e. { z e. RR | 0 <_ z } ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
16 1re 
 |-  1 e. RR
17 0le1 
 |-  0 <_ 1
18 breq2 
 |-  ( z = 1 -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ 1 ) )
19 18 elrab 
 |-  ( 1 e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) )
20 16 17 19 mpbir2an 
 |-  1 e. { z e. RR | 0 <_ z }
21 5 15 20 expcllem 
 |-  ( ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
22 breq2 
 |-  ( z = ( A ^ N ) -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ ( A ^ N ) ) )
23 22 elrab 
 |-  ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( ( A ^ N ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ N ) ) )
24 23 simprbi 
 |-  ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } -> 0 <_ ( A ^ N ) )
25 21 24 syl 
 |-  ( ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
26 2 25 sylanbr 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
27 26 3impa 
 |-  ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
28 27 3com23 
 |-  ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )