Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
f1of1 |
|- ( G : C -1-1-onto-> D -> G : C -1-1-> D ) |
2 |
1
|
anim1i |
|- ( ( G : C -1-1-onto-> D /\ B C_ C ) -> ( G : C -1-1-> D /\ B C_ C ) ) |
3 |
2
|
3adant1 |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ G : C -1-1-onto-> D /\ B C_ C ) -> ( G : C -1-1-> D /\ B C_ C ) ) |
4 |
|
f1ores |
|- ( ( G : C -1-1-> D /\ B C_ C ) -> ( G |` B ) : B -1-1-onto-> ( G " B ) ) |
5 |
3 4
|
syl |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ G : C -1-1-onto-> D /\ B C_ C ) -> ( G |` B ) : B -1-1-onto-> ( G " B ) ) |
6 |
|
simp1 |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ G : C -1-1-onto-> D /\ B C_ C ) -> F : A -1-1-onto-> B ) |
7 |
|
f1oco |
|- ( ( ( G |` B ) : B -1-1-onto-> ( G " B ) /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( G |` B ) o. F ) : A -1-1-onto-> ( G " B ) ) |
8 |
5 6 7
|
syl2anc |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ G : C -1-1-onto-> D /\ B C_ C ) -> ( ( G |` B ) o. F ) : A -1-1-onto-> ( G " B ) ) |
9 |
|
f1ofo |
|- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B ) |
10 |
|
forn |
|- ( F : A -onto-> B -> ran F = B ) |
11 |
9 10
|
syl |
|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ran F = B ) |
12 |
11
|
eqimssd |
|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ran F C_ B ) |
13 |
12
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ G : C -1-1-onto-> D /\ B C_ C ) -> ran F C_ B ) |
14 |
|
cores |
|- ( ran F C_ B -> ( ( G |` B ) o. F ) = ( G o. F ) ) |
15 |
14
|
eqcomd |
|- ( ran F C_ B -> ( G o. F ) = ( ( G |` B ) o. F ) ) |
16 |
13 15
|
syl |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ G : C -1-1-onto-> D /\ B C_ C ) -> ( G o. F ) = ( ( G |` B ) o. F ) ) |
17 |
16
|
f1oeq1d |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ G : C -1-1-onto-> D /\ B C_ C ) -> ( ( G o. F ) : A -1-1-onto-> ( G " B ) <-> ( ( G |` B ) o. F ) : A -1-1-onto-> ( G " B ) ) ) |
18 |
8 17
|
mpbird |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ G : C -1-1-onto-> D /\ B C_ C ) -> ( G o. F ) : A -1-1-onto-> ( G " B ) ) |