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Theorem f1ocoima

Description: The composition of two bijections as bijection onto the image of the range of the first bijection. (Contributed by AV, 15-Aug-2025)

Ref Expression
Assertion f1ocoima ( ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶 ) → ( 𝐺𝐹 ) : 𝐴1-1-onto→ ( 𝐺𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 f1of1 ( 𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐺 : 𝐶1-1𝐷 )
2 1 anim1i ( ( 𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶 ) → ( 𝐺 : 𝐶1-1𝐷𝐵𝐶 ) )
3 2 3adant1 ( ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶 ) → ( 𝐺 : 𝐶1-1𝐷𝐵𝐶 ) )
4 f1ores ( ( 𝐺 : 𝐶1-1𝐷𝐵𝐶 ) → ( 𝐺𝐵 ) : 𝐵1-1-onto→ ( 𝐺𝐵 ) )
5 3 4 syl ( ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶 ) → ( 𝐺𝐵 ) : 𝐵1-1-onto→ ( 𝐺𝐵 ) )
6 simp1 ( ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶 ) → 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵 )
7 f1oco ( ( ( 𝐺𝐵 ) : 𝐵1-1-onto→ ( 𝐺𝐵 ) ∧ 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵 ) → ( ( 𝐺𝐵 ) ∘ 𝐹 ) : 𝐴1-1-onto→ ( 𝐺𝐵 ) )
8 5 6 7 syl2anc ( ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶 ) → ( ( 𝐺𝐵 ) ∘ 𝐹 ) : 𝐴1-1-onto→ ( 𝐺𝐵 ) )
9 f1ofo ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵𝐹 : 𝐴onto𝐵 )
10 forn ( 𝐹 : 𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵 )
11 9 10 syl ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵 )
12 11 eqimssd ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹𝐵 )
13 12 3ad2ant1 ( ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶 ) → ran 𝐹𝐵 )
14 cores ( ran 𝐹𝐵 → ( ( 𝐺𝐵 ) ∘ 𝐹 ) = ( 𝐺𝐹 ) )
15 14 eqcomd ( ran 𝐹𝐵 → ( 𝐺𝐹 ) = ( ( 𝐺𝐵 ) ∘ 𝐹 ) )
16 13 15 syl ( ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶 ) → ( 𝐺𝐹 ) = ( ( 𝐺𝐵 ) ∘ 𝐹 ) )
17 16 f1oeq1d ( ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶 ) → ( ( 𝐺𝐹 ) : 𝐴1-1-onto→ ( 𝐺𝐵 ) ↔ ( ( 𝐺𝐵 ) ∘ 𝐹 ) : 𝐴1-1-onto→ ( 𝐺𝐵 ) ) )
18 8 17 mpbird ( ( 𝐹 : 𝐴1-1-onto𝐵𝐺 : 𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶 ) → ( 𝐺𝐹 ) : 𝐴1-1-onto→ ( 𝐺𝐵 ) )