Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
frlmval.f |
|- F = ( R freeLMod I ) |
2 |
|
fvex |
|- ( ringLMod ` R ) e. _V |
3 |
|
fnconstg |
|- ( ( ringLMod ` R ) e. _V -> ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) Fn I ) |
4 |
2 3
|
ax-mp |
|- ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) Fn I |
5 |
|
dsmmfi |
|- ( ( ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) Fn I /\ I e. Fin ) -> ( R (+)m ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) = ( R Xs_ ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) ) |
6 |
4 5
|
mpan |
|- ( I e. Fin -> ( R (+)m ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) = ( R Xs_ ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( R e. V /\ I e. Fin ) -> ( R (+)m ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) = ( R Xs_ ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) ) |
8 |
|
rlmsca |
|- ( R e. V -> R = ( Scalar ` ( ringLMod ` R ) ) ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( R e. V /\ I e. Fin ) -> R = ( Scalar ` ( ringLMod ` R ) ) ) |
10 |
9
|
oveq1d |
|- ( ( R e. V /\ I e. Fin ) -> ( R Xs_ ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) = ( ( Scalar ` ( ringLMod ` R ) ) Xs_ ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) ) |
11 |
7 10
|
eqtrd |
|- ( ( R e. V /\ I e. Fin ) -> ( R (+)m ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) = ( ( Scalar ` ( ringLMod ` R ) ) Xs_ ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) ) |
12 |
1
|
frlmval |
|- ( ( R e. V /\ I e. Fin ) -> F = ( R (+)m ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) ) |
13 |
|
eqid |
|- ( ( ringLMod ` R ) ^s I ) = ( ( ringLMod ` R ) ^s I ) |
14 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` ( ringLMod ` R ) ) = ( Scalar ` ( ringLMod ` R ) ) |
15 |
13 14
|
pwsval |
|- ( ( ( ringLMod ` R ) e. _V /\ I e. Fin ) -> ( ( ringLMod ` R ) ^s I ) = ( ( Scalar ` ( ringLMod ` R ) ) Xs_ ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) ) |
16 |
2 15
|
mpan |
|- ( I e. Fin -> ( ( ringLMod ` R ) ^s I ) = ( ( Scalar ` ( ringLMod ` R ) ) Xs_ ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( R e. V /\ I e. Fin ) -> ( ( ringLMod ` R ) ^s I ) = ( ( Scalar ` ( ringLMod ` R ) ) Xs_ ( I X. { ( ringLMod ` R ) } ) ) ) |
18 |
11 12 17
|
3eqtr4d |
|- ( ( R e. V /\ I e. Fin ) -> F = ( ( ringLMod ` R ) ^s I ) ) |