Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fsuppres.s |
|- ( ph -> F finSupp Z ) |
2 |
|
fsuppres.z |
|- ( ph -> Z e. V ) |
3 |
|
fsuppimp |
|- ( F finSupp Z -> ( Fun F /\ ( F supp Z ) e. Fin ) ) |
4 |
|
relprcnfsupp |
|- ( -. F e. _V -> -. F finSupp Z ) |
5 |
4
|
con4i |
|- ( F finSupp Z -> F e. _V ) |
6 |
1 5
|
syl |
|- ( ph -> F e. _V ) |
7 |
6 2
|
jca |
|- ( ph -> ( F e. _V /\ Z e. V ) ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ Fun F ) -> ( F e. _V /\ Z e. V ) ) |
9 |
|
ressuppss |
|- ( ( F e. _V /\ Z e. V ) -> ( ( F |` X ) supp Z ) C_ ( F supp Z ) ) |
10 |
|
ssfi |
|- ( ( ( F supp Z ) e. Fin /\ ( ( F |` X ) supp Z ) C_ ( F supp Z ) ) -> ( ( F |` X ) supp Z ) e. Fin ) |
11 |
10
|
expcom |
|- ( ( ( F |` X ) supp Z ) C_ ( F supp Z ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin -> ( ( F |` X ) supp Z ) e. Fin ) ) |
12 |
8 9 11
|
3syl |
|- ( ( ph /\ Fun F ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin -> ( ( F |` X ) supp Z ) e. Fin ) ) |
13 |
12
|
expcom |
|- ( Fun F -> ( ph -> ( ( F supp Z ) e. Fin -> ( ( F |` X ) supp Z ) e. Fin ) ) ) |
14 |
13
|
com23 |
|- ( Fun F -> ( ( F supp Z ) e. Fin -> ( ph -> ( ( F |` X ) supp Z ) e. Fin ) ) ) |
15 |
14
|
imp |
|- ( ( Fun F /\ ( F supp Z ) e. Fin ) -> ( ph -> ( ( F |` X ) supp Z ) e. Fin ) ) |
16 |
3 15
|
syl |
|- ( F finSupp Z -> ( ph -> ( ( F |` X ) supp Z ) e. Fin ) ) |
17 |
1 16
|
mpcom |
|- ( ph -> ( ( F |` X ) supp Z ) e. Fin ) |
18 |
|
funres |
|- ( Fun F -> Fun ( F |` X ) ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( Fun F /\ ( F supp Z ) e. Fin ) -> Fun ( F |` X ) ) |
20 |
1 3 19
|
3syl |
|- ( ph -> Fun ( F |` X ) ) |
21 |
|
resexg |
|- ( F e. _V -> ( F |` X ) e. _V ) |
22 |
1 5 21
|
3syl |
|- ( ph -> ( F |` X ) e. _V ) |
23 |
|
funisfsupp |
|- ( ( Fun ( F |` X ) /\ ( F |` X ) e. _V /\ Z e. V ) -> ( ( F |` X ) finSupp Z <-> ( ( F |` X ) supp Z ) e. Fin ) ) |
24 |
20 22 2 23
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( F |` X ) finSupp Z <-> ( ( F |` X ) supp Z ) e. Fin ) ) |
25 |
17 24
|
mpbird |
|- ( ph -> ( F |` X ) finSupp Z ) |