Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- ( 0 ..^ 1 ) = ( 0 ..^ 1 ) |
2 |
1
|
naryrcl |
|- ( G e. ( 1 -aryF X ) -> ( 1 e. NN0 /\ X e. _V ) ) |
3 |
|
1aryfvalel |
|- ( X e. _V -> ( G e. ( 1 -aryF X ) <-> G : ( X ^m { 0 } ) --> X ) ) |
4 |
|
simp2 |
|- ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> G : ( X ^m { 0 } ) --> X ) |
5 |
|
c0ex |
|- 0 e. _V |
6 |
5
|
a1i |
|- ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> 0 e. _V ) |
7 |
|
simp3 |
|- ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> A e. X ) |
8 |
6 7
|
fsnd |
|- ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> { <. 0 , A >. } : { 0 } --> X ) |
9 |
|
simp1 |
|- ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> X e. _V ) |
10 |
|
snex |
|- { 0 } e. _V |
11 |
10
|
a1i |
|- ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> { 0 } e. _V ) |
12 |
9 11
|
elmapd |
|- ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> ( { <. 0 , A >. } e. ( X ^m { 0 } ) <-> { <. 0 , A >. } : { 0 } --> X ) ) |
13 |
8 12
|
mpbird |
|- ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> { <. 0 , A >. } e. ( X ^m { 0 } ) ) |
14 |
4 13
|
ffvelrnd |
|- ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X ) |
15 |
14
|
3exp |
|- ( X e. _V -> ( G : ( X ^m { 0 } ) --> X -> ( A e. X -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X ) ) ) |
16 |
3 15
|
sylbid |
|- ( X e. _V -> ( G e. ( 1 -aryF X ) -> ( A e. X -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X ) ) ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( 1 e. NN0 /\ X e. _V ) -> ( G e. ( 1 -aryF X ) -> ( A e. X -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X ) ) ) |
18 |
2 17
|
mpcom |
|- ( G e. ( 1 -aryF X ) -> ( A e. X -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X ) ) |
19 |
18
|
imp |
|- ( ( G e. ( 1 -aryF X ) /\ A e. X ) -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X ) |