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Theorem fv1arycl

Description: Closure of a unary (endo)function. (Contributed by AV, 18-May-2024)

Ref Expression
Assertion fv1arycl
|- ( ( G e. ( 1 -aryF X ) /\ A e. X ) -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eqid
 |-  ( 0 ..^ 1 ) = ( 0 ..^ 1 )
2 1 naryrcl
 |-  ( G e. ( 1 -aryF X ) -> ( 1 e. NN0 /\ X e. _V ) )
3 1aryfvalel
 |-  ( X e. _V -> ( G e. ( 1 -aryF X ) <-> G : ( X ^m { 0 } ) --> X ) )
4 simp2
 |-  ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> G : ( X ^m { 0 } ) --> X )
5 c0ex
 |-  0 e. _V
6 5 a1i
 |-  ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> 0 e. _V )
7 simp3
 |-  ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> A e. X )
8 6 7 fsnd
 |-  ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> { <. 0 , A >. } : { 0 } --> X )
9 simp1
 |-  ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> X e. _V )
10 snex
 |-  { 0 } e. _V
11 10 a1i
 |-  ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> { 0 } e. _V )
12 9 11 elmapd
 |-  ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> ( { <. 0 , A >. } e. ( X ^m { 0 } ) <-> { <. 0 , A >. } : { 0 } --> X ) )
13 8 12 mpbird
 |-  ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> { <. 0 , A >. } e. ( X ^m { 0 } ) )
14 4 13 ffvelrnd
 |-  ( ( X e. _V /\ G : ( X ^m { 0 } ) --> X /\ A e. X ) -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X )
15 14 3exp
 |-  ( X e. _V -> ( G : ( X ^m { 0 } ) --> X -> ( A e. X -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X ) ) )
16 3 15 sylbid
 |-  ( X e. _V -> ( G e. ( 1 -aryF X ) -> ( A e. X -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X ) ) )
17 16 adantl
 |-  ( ( 1 e. NN0 /\ X e. _V ) -> ( G e. ( 1 -aryF X ) -> ( A e. X -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X ) ) )
18 2 17 mpcom
 |-  ( G e. ( 1 -aryF X ) -> ( A e. X -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X ) )
19 18 imp
 |-  ( ( G e. ( 1 -aryF X ) /\ A e. X ) -> ( G ` { <. 0 , A >. } ) e. X )