Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfzoelz |
|- ( A e. ( C ..^ D ) -> A e. ZZ ) |
2 |
1
|
zcnd |
|- ( A e. ( C ..^ D ) -> A e. CC ) |
3 |
|
elfzoelz |
|- ( B e. ( C ..^ D ) -> B e. ZZ ) |
4 |
3
|
zcnd |
|- ( B e. ( C ..^ D ) -> B e. CC ) |
5 |
|
abssub |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A - B ) ) = ( abs ` ( B - A ) ) ) |
6 |
2 4 5
|
syl2an |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) = ( abs ` ( B - A ) ) ) |
7 |
6
|
adantr |
|- ( ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( A - B ) ) = ( abs ` ( B - A ) ) ) |
8 |
|
fzomaxdiflem |
|- ( ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) e. ( 0 ..^ ( D - C ) ) ) |
9 |
7 8
|
eqeltrd |
|- ( ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. ( 0 ..^ ( D - C ) ) ) |
10 |
|
fzomaxdiflem |
|- ( ( ( B e. ( C ..^ D ) /\ A e. ( C ..^ D ) ) /\ B <_ A ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. ( 0 ..^ ( D - C ) ) ) |
11 |
10
|
ancom1s |
|- ( ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) /\ B <_ A ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. ( 0 ..^ ( D - C ) ) ) |
12 |
1
|
zred |
|- ( A e. ( C ..^ D ) -> A e. RR ) |
13 |
3
|
zred |
|- ( B e. ( C ..^ D ) -> B e. RR ) |
14 |
|
letric |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) |
15 |
12 13 14
|
syl2an |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) |
16 |
9 11 15
|
mpjaodan |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. ( 0 ..^ ( D - C ) ) ) |