Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
2 |
1
|
zcnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
3 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) → 𝐵 ∈ ℤ ) |
4 |
3
|
zcnd |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
5 |
|
abssub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
6 |
2 4 5
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
7 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
8 |
|
fzomaxdiflem |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
9 |
7 8
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
10 |
|
fzomaxdiflem |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴 ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
11 |
10
|
ancom1s |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴 ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
12 |
1
|
zred |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
13 |
3
|
zred |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
14 |
|
letric |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴 ) ) |
15 |
12 13 14
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴 ) ) |
16 |
9 11 15
|
mpjaodan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 ..^ 𝐷 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |