Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fzolb |
|- ( M e. ( M ..^ N ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) ) |
2 |
|
fzofzp1 |
|- ( M e. ( M ..^ N ) -> ( M + 1 ) e. ( M ... N ) ) |
3 |
1 2
|
sylbir |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( M + 1 ) e. ( M ... N ) ) |
4 |
|
fzosplit |
|- ( ( M + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( M ..^ N ) = ( ( M ..^ ( M + 1 ) ) u. ( ( M + 1 ) ..^ N ) ) ) |
5 |
3 4
|
syl |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( M ..^ N ) = ( ( M ..^ ( M + 1 ) ) u. ( ( M + 1 ) ..^ N ) ) ) |
6 |
|
fzosn |
|- ( M e. ZZ -> ( M ..^ ( M + 1 ) ) = { M } ) |
7 |
6
|
3ad2ant1 |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( M ..^ ( M + 1 ) ) = { M } ) |
8 |
7
|
uneq1d |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( M ..^ ( M + 1 ) ) u. ( ( M + 1 ) ..^ N ) ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ..^ N ) ) ) |
9 |
5 8
|
eqtrd |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( M ..^ N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ..^ N ) ) ) |