Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
grpsubadd.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
grpsubadd.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
grpsubadd.m |
|- .- = ( -g ` G ) |
4 |
|
simpl |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp ) |
5 |
1 2
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .+ Z ) e. B ) |
6 |
5
|
3adant3r2 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Z ) e. B ) |
7 |
|
simpr3 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B ) |
8 |
|
simpr2 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B ) |
9 |
1 2 3
|
grpsubsub4 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Z ) .- Z ) .- Y ) = ( ( X .+ Z ) .- ( Y .+ Z ) ) ) |
10 |
4 6 7 8 9
|
syl13anc |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Z ) .- Z ) .- Y ) = ( ( X .+ Z ) .- ( Y .+ Z ) ) ) |
11 |
1 2 3
|
grppncan |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .+ Z ) .- Z ) = X ) |
12 |
11
|
3adant3r2 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .- Z ) = X ) |
13 |
12
|
oveq1d |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Z ) .- Z ) .- Y ) = ( X .- Y ) ) |
14 |
10 13
|
eqtr3d |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .- ( Y .+ Z ) ) = ( X .- Y ) ) |