Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
grpsubadd.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
grpsubadd.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
grpsubadd.m |
|- .- = ( -g ` G ) |
4 |
|
simp1 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp ) |
5 |
|
simp2 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B ) |
6 |
|
simp3 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B ) |
7 |
1 2 3
|
grpaddsubass |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = ( X .+ ( Y .- Y ) ) ) |
8 |
4 5 6 6 7
|
syl13anc |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = ( X .+ ( Y .- Y ) ) ) |
9 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
10 |
1 9 3
|
grpsubid |
|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) ) |
11 |
10
|
oveq2d |
|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .- Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) ) |
12 |
11
|
3adant2 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .- Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) ) |
13 |
1 2 9
|
grprid |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X ) |
14 |
13
|
3adant3 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X ) |
15 |
8 12 14
|
3eqtrd |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = X ) |