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Theorem grpaddsubass

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Apr-2014)

Ref Expression
Hypotheses grpsubadd.b 
|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p 
|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m 
|- .- = ( -g ` G )
Assertion grpaddsubass 
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( X .+ ( Y .- Z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 grpsubadd.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 grpsubadd.p 
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 grpsubadd.m 
 |-  .- = ( -g ` G )
4 simpl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
5 simpr1 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
6 simpr2 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
7 eqid 
 |-  ( invg ` G ) = ( invg ` G )
8 1 7 grpinvcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
9 8 3ad2antr3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
10 1 2 grpass 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
11 4 5 6 9 10 syl13anc 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
12 1 2 grpcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
13 12 3adant3r3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
14 simpr3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
15 1 2 7 3 grpsubval 
 |-  ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
16 13 14 15 syl2anc 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
17 1 2 7 3 grpsubval 
 |-  ( ( Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
18 6 14 17 syl2anc 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .- Z ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
19 18 oveq2d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
20 11 16 19 3eqtr4d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( X .+ ( Y .- Z ) ) )