Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gsumdifsnd.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
gsumdifsnd.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
gsumdifsnd.g |
|- ( ph -> G e. CMnd ) |
4 |
|
gsumdifsnd.a |
|- ( ph -> A e. W ) |
5 |
|
gsumdifsnd.f |
|- ( ph -> ( k e. A |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) ) |
6 |
|
gsumdifsnd.e |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> X e. B ) |
7 |
|
gsumdifsnd.m |
|- ( ph -> M e. A ) |
8 |
|
gsumdifsnd.y |
|- ( ph -> Y e. B ) |
9 |
|
gsumdifsnd.s |
|- ( ( ph /\ k = M ) -> X = Y ) |
10 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
11 |
7
|
snssd |
|- ( ph -> { M } C_ A ) |
12 |
|
difin2 |
|- ( { M } C_ A -> ( { M } \ { M } ) = ( ( A \ { M } ) i^i { M } ) ) |
13 |
11 12
|
syl |
|- ( ph -> ( { M } \ { M } ) = ( ( A \ { M } ) i^i { M } ) ) |
14 |
|
difid |
|- ( { M } \ { M } ) = (/) |
15 |
13 14
|
eqtr3di |
|- ( ph -> ( ( A \ { M } ) i^i { M } ) = (/) ) |
16 |
|
difsnid |
|- ( M e. A -> ( ( A \ { M } ) u. { M } ) = A ) |
17 |
7 16
|
syl |
|- ( ph -> ( ( A \ { M } ) u. { M } ) = A ) |
18 |
17
|
eqcomd |
|- ( ph -> A = ( ( A \ { M } ) u. { M } ) ) |
19 |
1 10 2 3 4 6 5 15 18
|
gsumsplit2 |
|- ( ph -> ( G gsum ( k e. A |-> X ) ) = ( ( G gsum ( k e. ( A \ { M } ) |-> X ) ) .+ ( G gsum ( k e. { M } |-> X ) ) ) ) |
20 |
|
cmnmnd |
|- ( G e. CMnd -> G e. Mnd ) |
21 |
3 20
|
syl |
|- ( ph -> G e. Mnd ) |
22 |
1 21 7 8 9
|
gsumsnd |
|- ( ph -> ( G gsum ( k e. { M } |-> X ) ) = Y ) |
23 |
22
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( G gsum ( k e. ( A \ { M } ) |-> X ) ) .+ ( G gsum ( k e. { M } |-> X ) ) ) = ( ( G gsum ( k e. ( A \ { M } ) |-> X ) ) .+ Y ) ) |
24 |
19 23
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( G gsum ( k e. A |-> X ) ) = ( ( G gsum ( k e. ( A \ { M } ) |-> X ) ) .+ Y ) ) |