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Theorem hbimpg

Description: A closed form of hbim . Derived from hbimpgVD . (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion hbimpg 
|- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hba1 
 |-  ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x A. x ( ph -> A. x ph ) )
2 hba1 
 |-  ( A. x ( ps -> A. x ps ) -> A. x A. x ( ps -> A. x ps ) )
3 1 2 hban 
 |-  ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) )
4 hbntal 
 |-  ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) )
5 4 adantr 
 |-  ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) )
6 5 19.21bi 
 |-  ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> ( -. ph -> A. x -. ph ) )
7 pm2.21 
 |-  ( -. ph -> ( ph -> ps ) )
8 7 alimi 
 |-  ( A. x -. ph -> A. x ( ph -> ps ) )
9 6 8 syl6 
 |-  ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> ( -. ph -> A. x ( ph -> ps ) ) )
10 simpr 
 |-  ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ps -> A. x ps ) )
11 10 19.21bi 
 |-  ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> ( ps -> A. x ps ) )
12 ax-1 
 |-  ( ps -> ( ph -> ps ) )
13 12 alimi 
 |-  ( A. x ps -> A. x ( ph -> ps ) )
14 11 13 syl6 
 |-  ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> ( ps -> A. x ( ph -> ps ) ) )
15 9 14 jad 
 |-  ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) )
16 3 15 alrimih 
 |-  ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) )