Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hlatjcom.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
2 |
|
hlatjcom.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
3 |
|
hllat |
|- ( K e. HL -> K e. Lat ) |
4 |
3
|
3ad2ant1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> K e. Lat ) |
5 |
|
simp2l |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> P e. A ) |
6 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
7 |
6 2
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) ) |
8 |
5 7
|
syl |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> P e. ( Base ` K ) ) |
9 |
|
simp2r |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> Q e. A ) |
10 |
6 2
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) ) |
11 |
9 10
|
syl |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> Q e. ( Base ` K ) ) |
12 |
|
simp3l |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> R e. A ) |
13 |
6 2
|
atbase |
|- ( R e. A -> R e. ( Base ` K ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> R e. ( Base ` K ) ) |
15 |
|
simp3r |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> S e. A ) |
16 |
6 2
|
atbase |
|- ( S e. A -> S e. ( Base ` K ) ) |
17 |
15 16
|
syl |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> S e. ( Base ` K ) ) |
18 |
6 1
|
latj4 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ ( R e. ( Base ` K ) /\ S e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ ( R .\/ S ) ) = ( ( P .\/ R ) .\/ ( Q .\/ S ) ) ) |
19 |
4 8 11 14 17 18
|
syl122anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ ( R .\/ S ) ) = ( ( P .\/ R ) .\/ ( Q .\/ S ) ) ) |