Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iblrelem.1 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR ) |
2 |
|
iblpos.2 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B ) |
3 |
1
|
iblrelem |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
4 |
|
df-3an |
|- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
5 |
3 4
|
bitrdi |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
6 |
1 2
|
iblposlem |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) = 0 ) |
7 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
8 |
6 7
|
eqeltrdi |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) |
9 |
8
|
biantrud |
|- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
10 |
2
|
ex |
|- ( ph -> ( x e. A -> 0 <_ B ) ) |
11 |
10
|
pm4.71rd |
|- ( ph -> ( x e. A <-> ( 0 <_ B /\ x e. A ) ) ) |
12 |
|
ancom |
|- ( ( 0 <_ B /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ B ) ) |
13 |
11 12
|
bitr2di |
|- ( ph -> ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) <-> x e. A ) ) |
14 |
13
|
ifbid |
|- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = if ( x e. A , B , 0 ) ) |
15 |
14
|
mpteq2dv |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) |
16 |
15
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) ) |
17 |
16
|
eleq1d |
|- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
18 |
17
|
anbi2d |
|- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
19 |
5 9 18
|
3bitr2d |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |