Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iblrelem.1 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR ) |
2 |
1
|
mbfposb |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn ) ) ) |
3 |
|
ifan |
|- if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) |
4 |
3
|
mpteq2i |
|- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) |
5 |
4
|
fveq2i |
|- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) |
6 |
5
|
eleq1i |
|- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
7 |
|
ifan |
|- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) |
8 |
7
|
mpteq2i |
|- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) |
9 |
8
|
fveq2i |
|- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) |
10 |
9
|
eleq1i |
|- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
11 |
6 10
|
anbi12i |
|- ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
12 |
11
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
13 |
2 12
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) ) <-> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn ) /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) ) |
14 |
|
3anass |
|- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
15 |
|
an4 |
|- ( ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) <-> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn ) /\ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
16 |
13 14 15
|
3bitr4g |
|- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) ) |
17 |
1
|
iblrelem |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
18 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
19 |
|
ifcl |
|- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR ) |
20 |
1 18 19
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR ) |
21 |
|
max1 |
|- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) |
22 |
18 1 21
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) |
23 |
20 22
|
iblpos |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
24 |
1
|
renegcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. RR ) |
25 |
|
ifcl |
|- ( ( -u B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR ) |
26 |
24 18 25
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR ) |
27 |
|
max1 |
|- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) |
28 |
18 24 27
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) |
29 |
26 28
|
iblpos |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
30 |
23 29
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 ) <-> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) ) |
31 |
16 17 30
|
3bitr4d |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 ) ) ) |