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Theorem itgrevallem1

Description: Lemma for itgposval and itgreval . (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014)

Ref Expression
Hypotheses iblrelem.1 
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
itgreval.2 
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
Assertion itgrevallem1 
|- ( ph -> S. A B _d x = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iblrelem.1 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
2 itgreval.2 
 |-  ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
3 eqid 
 |-  ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
4 eqid 
 |-  ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
5 eqid 
 |-  ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
6 eqid 
 |-  ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
7 3 4 5 6 1 2 itgcnlem 
 |-  ( ph -> S. A B _d x = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) ) + ( _i x. ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) ) ) ) )
8 1 rered 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) = B )
9 8 ibllem 
 |-  ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
10 9 mpteq2dv 
 |-  ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) )
11 10 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) )
12 8 negeqd 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` B ) = -u B )
13 12 ibllem 
 |-  ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) )
14 13 mpteq2dv 
 |-  ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) )
15 14 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) )
16 11 15 oveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) )
17 1 reim0d 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) = 0 )
18 17 itgvallem3 
 |-  ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = 0 )
19 17 negeqd 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` B ) = -u 0 )
20 neg0 
 |-  -u 0 = 0
21 19 20 eqtrdi 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` B ) = 0 )
22 21 itgvallem3 
 |-  ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = 0 )
23 18 22 oveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
24 0m0e0 
 |-  ( 0 - 0 ) = 0
25 23 24 eqtrdi 
 |-  ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) ) = 0 )
26 25 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( _i x. ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) ) ) = ( _i x. 0 ) )
27 it0e0 
 |-  ( _i x. 0 ) = 0
28 26 27 eqtrdi 
 |-  ( ph -> ( _i x. ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) ) ) = 0 )
29 16 28 oveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) ) + ( _i x. ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) + 0 ) )
30 1 iblrelem 
 |-  ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
31 2 30 mpbid 
 |-  ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) )
32 31 simp2d 
 |-  ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
33 31 simp3d 
 |-  ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR )
34 32 33 resubcld 
 |-  ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) e. RR )
35 34 recnd 
 |-  ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) e. CC )
36 35 addid1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) + 0 ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) )
37 7 29 36 3eqtrd 
 |-  ( ph -> S. A B _d x = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) )