Theorem iineq12f

Description: Equality deduction for indexed intersections. (Contributed by Giovanni Mascellani, 10-Apr-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	iineq12f.1	|- F/_ x A
	iineq12f.2	|- F/_ x B
Assertion	iineq12f	|- ( ( A = B /\ A. x e. A C = D ) -> |^|_ x e. A C = |^|_ x e. B D )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iineq12f.1	|- F/_ x A
2		iineq12f.2	|- F/_ x B
3		eleq2	|- ( C = D -> ( y e. C <-> y e. D ) )
4	3	ralimi	|- ( A. x e. A C = D -> A. x e. A ( y e. C <-> y e. D ) )
5		ralbi	|- ( A. x e. A ( y e. C <-> y e. D ) -> ( A. x e. A y e. C <-> A. x e. A y e. D ) )
6	4 5	syl	|- ( A. x e. A C = D -> ( A. x e. A y e. C <-> A. x e. A y e. D ) )
7	1 2	raleqf	|- ( A = B -> ( A. x e. A y e. D <-> A. x e. B y e. D ) )
8	6 7	sylan9bbr	|- ( ( A = B /\ A. x e. A C = D ) -> ( A. x e. A y e. C <-> A. x e. B y e. D ) )
9	8	abbidv	|- ( ( A = B /\ A. x e. A C = D ) -> { y | A. x e. A y e. C } = { y | A. x e. B y e. D } )
10		df-iin	|- |^|_ x e. A C = { y | A. x e. A y e. C }
11		df-iin	|- |^|_ x e. B D = { y | A. x e. B y e. D }
12	9 10 11	3eqtr4g	|- ( ( A = B /\ A. x e. A C = D ) -> |^|_ x e. A C = |^|_ x e. B D )