Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfiin2g |
|- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } ) |
2 |
1
|
adantl |
|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } ) |
3 |
|
elisset |
|- ( B e. C -> E. y y = B ) |
4 |
3
|
rgenw |
|- A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) |
5 |
|
r19.2z |
|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) ) -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) ) |
6 |
4 5
|
mpan2 |
|- ( A =/= (/) -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) ) |
7 |
|
r19.35 |
|- ( E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) <-> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) ) |
8 |
6 7
|
sylib |
|- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) ) |
9 |
8
|
imp |
|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. C ) -> E. x e. A E. y y = B ) |
10 |
|
rexcom4 |
|- ( E. x e. A E. y y = B <-> E. y E. x e. A y = B ) |
11 |
9 10
|
sylib |
|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y E. x e. A y = B ) |
12 |
|
abn0 |
|- ( { y | E. x e. A y = B } =/= (/) <-> E. y E. x e. A y = B ) |
13 |
11 12
|
sylibr |
|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. C ) -> { y | E. x e. A y = B } =/= (/) ) |
14 |
|
intex |
|- ( { y | E. x e. A y = B } =/= (/) <-> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V ) |
15 |
13 14
|
sylib |
|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. C ) -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V ) |
16 |
2 15
|
eqeltrd |
|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V ) |