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Theorem r19.35

Description: Restricted quantifier version of 19.35 . (Contributed by NM, 20-Sep-2003)

Ref Expression
Assertion r19.35 
|- ( E. x e. A ( ph -> ps ) <-> ( A. x e. A ph -> E. x e. A ps ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pm2.27 
 |-  ( ph -> ( ( ph -> ps ) -> ps ) )
2 1 ralimi 
 |-  ( A. x e. A ph -> A. x e. A ( ( ph -> ps ) -> ps ) )
3 rexim 
 |-  ( A. x e. A ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( E. x e. A ( ph -> ps ) -> E. x e. A ps ) )
4 2 3 syl 
 |-  ( A. x e. A ph -> ( E. x e. A ( ph -> ps ) -> E. x e. A ps ) )
5 4 com12 
 |-  ( E. x e. A ( ph -> ps ) -> ( A. x e. A ph -> E. x e. A ps ) )
6 rexnal 
 |-  ( E. x e. A -. ph <-> -. A. x e. A ph )
7 pm2.21 
 |-  ( -. ph -> ( ph -> ps ) )
8 7 reximi 
 |-  ( E. x e. A -. ph -> E. x e. A ( ph -> ps ) )
9 6 8 sylbir 
 |-  ( -. A. x e. A ph -> E. x e. A ( ph -> ps ) )
10 ax-1 
 |-  ( ps -> ( ph -> ps ) )
11 10 reximi 
 |-  ( E. x e. A ps -> E. x e. A ( ph -> ps ) )
12 9 11 ja 
 |-  ( ( A. x e. A ph -> E. x e. A ps ) -> E. x e. A ( ph -> ps ) )
13 5 12 impbii 
 |-  ( E. x e. A ( ph -> ps ) <-> ( A. x e. A ph -> E. x e. A ps ) )