Metamath Proof Explorer

Theorem imcj

Description: Imaginary part of a complex conjugate. (Contributed by NM, 18-Mar-2005) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014)

Ref Expression
Assertion imcj 
|- ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 recl 
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2 1 recnd 
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3 ax-icn 
 |-  _i e. CC
4 imcl 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5 4 recnd 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6 mulcl 
 |-  ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7 3 5 6 sylancr 
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8 2 7 negsubd 
 |-  ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9 mulneg2 
 |-  ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
10 3 5 9 sylancr 
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
11 10 oveq2d 
 |-  ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
12 remim 
 |-  ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
13 8 11 12 3eqtr4rd 
 |-  ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
14 13 fveq2d 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` A ) ) = ( Im ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) )
15 4 renegcld 
 |-  ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
16 crim 
 |-  ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( Im ` A ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
17 1 15 16 syl2anc 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
18 14 17 eqtrd 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )