Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
infexd.1 |
|- ( ph -> R Or A ) |
2 |
|
df-inf |
|- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R ) |
3 |
|
cnvso |
|- ( R Or A <-> `' R Or A ) |
4 |
1 3
|
sylib |
|- ( ph -> `' R Or A ) |
5 |
4
|
supval2 |
|- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) ) |
6 |
|
vex |
|- x e. _V |
7 |
|
vex |
|- y e. _V |
8 |
6 7
|
brcnv |
|- ( x `' R y <-> y R x ) |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) ) |
10 |
9
|
notbid |
|- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) ) |
11 |
10
|
ralbidv |
|- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) ) |
12 |
7 6
|
brcnv |
|- ( y `' R x <-> x R y ) |
13 |
12
|
a1i |
|- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) ) |
14 |
|
vex |
|- z e. _V |
15 |
7 14
|
brcnv |
|- ( y `' R z <-> z R y ) |
16 |
15
|
a1i |
|- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) ) |
17 |
16
|
rexbidv |
|- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) ) |
18 |
13 17
|
imbi12d |
|- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) |
19 |
18
|
ralbidv |
|- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) |
20 |
11 19
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) ) |
21 |
20
|
riotabidv |
|- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) ) |
22 |
5 21
|
eqtrd |
|- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) ) |
23 |
2 22
|
eqtrid |
|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) ) |