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Theorem infval

Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020)

Ref Expression
Hypothesis infexd.1 φ R Or A
Assertion infval φ sup B A R = ι x A | y B ¬ y R x y A x R y z B z R y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 infexd.1 φ R Or A
2 df-inf sup B A R = sup B A R -1
3 cnvso R Or A R -1 Or A
4 1 3 sylib φ R -1 Or A
5 4 supval2 φ sup B A R -1 = ι x A | y B ¬ x R -1 y y A y R -1 x z B y R -1 z
6 vex x V
7 vex y V
8 6 7 brcnv x R -1 y y R x
9 8 a1i φ x R -1 y y R x
10 9 notbid φ ¬ x R -1 y ¬ y R x
11 10 ralbidv φ y B ¬ x R -1 y y B ¬ y R x
12 7 6 brcnv y R -1 x x R y
13 12 a1i φ y R -1 x x R y
14 vex z V
15 7 14 brcnv y R -1 z z R y
16 15 a1i φ y R -1 z z R y
17 16 rexbidv φ z B y R -1 z z B z R y
18 13 17 imbi12d φ y R -1 x z B y R -1 z x R y z B z R y
19 18 ralbidv φ y A y R -1 x z B y R -1 z y A x R y z B z R y
20 11 19 anbi12d φ y B ¬ x R -1 y y A y R -1 x z B y R -1 z y B ¬ y R x y A x R y z B z R y
21 20 riotabidv φ ι x A | y B ¬ x R -1 y y A y R -1 x z B y R -1 z = ι x A | y B ¬ y R x y A x R y z B z R y
22 5 21 eqtrd φ sup B A R -1 = ι x A | y B ¬ y R x y A x R y z B z R y
23 2 22 eqtrid φ sup B A R = ι x A | y B ¬ y R x y A x R y z B z R y