Theorem islly

Description: The property of being a locally A topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015)

	Ref	Expression
Assertion	islly	|- ( J e. Locally A <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J |`t u ) e. A ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1	|- ( j = J -> ( j i^i ~P x ) = ( J i^i ~P x ) )
2		oveq1	|- ( j = J -> ( j |`t u ) = ( J |`t u ) )
3	2	eleq1d	|- ( j = J -> ( ( j |`t u ) e. A <-> ( J |`t u ) e. A ) )
4	3	anbi2d	|- ( j = J -> ( ( y e. u /\ ( j |`t u ) e. A ) <-> ( y e. u /\ ( J |`t u ) e. A ) ) )
5	1 4	rexeqbidv	|- ( j = J -> ( E. u e. ( j i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( j |`t u ) e. A ) <-> E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J |`t u ) e. A ) ) )
6	5	ralbidv	|- ( j = J -> ( A. y e. x E. u e. ( j i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( j |`t u ) e. A ) <-> A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J |`t u ) e. A ) ) )
7	6	raleqbi1dv	|- ( j = J -> ( A. x e. j A. y e. x E. u e. ( j i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( j |`t u ) e. A ) <-> A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J |`t u ) e. A ) ) )
8		df-lly	|- Locally A = { j e. Top | A. x e. j A. y e. x E. u e. ( j i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( j |`t u ) e. A ) }
9	7 8	elrab2	|- ( J e. Locally A <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J |`t u ) e. A ) ) )