Theorem ismri

Description: Criterion for a set to be an independent set of a Moore system. (Contributed by David Moews, 1-May-2017)

	Ref	Expression
Hypotheses	ismri.1	|- N = ( mrCls ` A )
	ismri.2	|- I = ( mrInd ` A )
Assertion	ismri	|- ( A e. ( Moore ` X ) -> ( S e. I <-> ( S C_ X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismri.1	|- N = ( mrCls ` A )
2		ismri.2	|- I = ( mrInd ` A )
3	1 2	mrisval	|- ( A e. ( Moore ` X ) -> I = { s e. ~P X | A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) } )
4	3	eleq2d	|- ( A e. ( Moore ` X ) -> ( S e. I <-> S e. { s e. ~P X | A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) } ) )
5		difeq1	|- ( s = S -> ( s \ { x } ) = ( S \ { x } ) )
6	5	fveq2d	|- ( s = S -> ( N ` ( s \ { x } ) ) = ( N ` ( S \ { x } ) ) )
7	6	eleq2d	|- ( s = S -> ( x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) )
8	7	notbid	|- ( s = S -> ( -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) )
9	8	raleqbi1dv	|- ( s = S -> ( A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) <-> A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) )
10	9	elrab	|- ( S e. { s e. ~P X | A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) } <-> ( S e. ~P X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) )
11	4 10	bitrdi	|- ( A e. ( Moore ` X ) -> ( S e. I <-> ( S e. ~P X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) ) )
12		elfvex	|- ( A e. ( Moore ` X ) -> X e. _V )
13		elpw2g	|- ( X e. _V -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
14	12 13	syl	|- ( A e. ( Moore ` X ) -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
15	14	anbi1d	|- ( A e. ( Moore ` X ) -> ( ( S e. ~P X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) <-> ( S C_ X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) ) )
16	11 15	bitrd	|- ( A e. ( Moore ` X ) -> ( S e. I <-> ( S C_ X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) ) )