Theorem issmo2

Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2013)

	Ref	Expression
Assertion	issmo2	|- ( F : A --> B -> ( ( B C_ On /\ Ord A /\ A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) -> Smo F ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fss	|- ( ( F : A --> B /\ B C_ On ) -> F : A --> On )
2	1	ex	|- ( F : A --> B -> ( B C_ On -> F : A --> On ) )
3		fdm	|- ( F : A --> B -> dom F = A )
4	3	feq2d	|- ( F : A --> B -> ( F : dom F --> On <-> F : A --> On ) )
5	2 4	sylibrd	|- ( F : A --> B -> ( B C_ On -> F : dom F --> On ) )
6		ordeq	|- ( dom F = A -> ( Ord dom F <-> Ord A ) )
7	3 6	syl	|- ( F : A --> B -> ( Ord dom F <-> Ord A ) )
8	7	biimprd	|- ( F : A --> B -> ( Ord A -> Ord dom F ) )
9	3	raleqdv	|- ( F : A --> B -> ( A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) <-> A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
10	9	biimprd	|- ( F : A --> B -> ( A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
11	5 8 10	3anim123d	|- ( F : A --> B -> ( ( B C_ On /\ Ord A /\ A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) -> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
12		dfsmo2	|- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
13	11 12	syl6ibr	|- ( F : A --> B -> ( ( B C_ On /\ Ord A /\ A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) -> Smo F ) )