Theorem ist0

Description: The predicate "is a T_0 space". Every pair of distinct points is topologically distinguishable. For the way this definition is usually encountered, see ist0-3 . (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010)

	Ref	Expression
Hypothesis	ist0.1	|- X = U. J
Assertion	ist0	|- ( J e. Kol2 <-> ( J e. Top /\ A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ist0.1	|- X = U. J
2		unieq	|- ( j = J -> U. j = U. J )
3	2 1	eqtr4di	|- ( j = J -> U. j = X )
4		raleq	|- ( j = J -> ( A. o e. j ( x e. o <-> y e. o ) <-> A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) ) )
5	4	imbi1d	|- ( j = J -> ( ( A. o e. j ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
6	3 5	raleqbidv	|- ( j = J -> ( A. y e. U. j ( A. o e. j ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
7	3 6	raleqbidv	|- ( j = J -> ( A. x e. U. j A. y e. U. j ( A. o e. j ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
8		df-t0	|- Kol2 = { j e. Top | A. x e. U. j A. y e. U. j ( A. o e. j ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) }
9	7 8	elrab2	|- ( J e. Kol2 <-> ( J e. Top /\ A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )