Theorem iunun

Description: Separate a union in an indexed union. (Contributed by NM, 27-Dec-2004) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016)

	Ref	Expression
Assertion	iunun	|- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.43	|- ( E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
2		elun	|- ( y e. ( B u. C ) <-> ( y e. B \/ y e. C ) )
3	2	rexbii	|- ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) )
4		eliun	|- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5		eliun	|- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
6	4 5	orbi12i	|- ( ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
7	1 3 6	3bitr4i	|- ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
8		eliun	|- ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> E. x e. A y e. ( B u. C ) )
9		elun	|- ( y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
10	7 8 9	3bitr4i	|- ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) )
11	10	eqriv	|- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )