Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lemul2a |
|- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) |
2 |
1
|
ex |
|- ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) ) |
3 |
2
|
3comr |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ C e. RR /\ D e. RR ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) ) |
4 |
3
|
3expb |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) ) |
5 |
4
|
adantrrr |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) ) |
6 |
5
|
adantlr |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) ) |
7 |
|
lemul1a |
|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) |
8 |
7
|
ex |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) |
9 |
8
|
ad4ant134 |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) |
10 |
9
|
adantrl |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) |
11 |
6 10
|
anim12d |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( C <_ D /\ A <_ B ) -> ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) ) |
12 |
11
|
ancomsd |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) ) |
13 |
|
remulcl |
|- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR ) |
14 |
13
|
adantlr |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR ) |
15 |
14
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A x. C ) e. RR ) |
16 |
|
remulcl |
|- ( ( A e. RR /\ D e. RR ) -> ( A x. D ) e. RR ) |
17 |
16
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A x. D ) e. RR ) |
18 |
17
|
ad2ant2rl |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A x. D ) e. RR ) |
19 |
|
remulcl |
|- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B x. D ) e. RR ) |
20 |
19
|
adantrr |
|- ( ( B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( B x. D ) e. RR ) |
21 |
20
|
ad2ant2l |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( B x. D ) e. RR ) |
22 |
|
letr |
|- ( ( ( A x. C ) e. RR /\ ( A x. D ) e. RR /\ ( B x. D ) e. RR ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) ) |
23 |
15 18 21 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) ) |
24 |
12 23
|
syld |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) ) |