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Theorem lmod1lem1

Description: Lemma 1 for lmod1 . (Contributed by AV, 28-Apr-2019)

Ref Expression
Hypothesis lmod1.m 
|- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. ( Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , y e. { I } |-> y ) >. } )
Assertion lmod1lem1 
|- ( ( I e. V /\ R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) -> ( r ( .s ` M ) I ) e. { I } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lmod1.m 
 |-  M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. ( Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , y e. { I } |-> y ) >. } )
2 fvex 
 |-  ( Base ` R ) e. _V
3 snex 
 |-  { I } e. _V
4 3 a1i 
 |-  ( ( I e. V /\ R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) -> { I } e. _V )
5 mpoexga 
 |-  ( ( ( Base ` R ) e. _V /\ { I } e. _V ) -> ( x e. ( Base ` R ) , y e. { I } |-> y ) e. _V )
6 2 4 5 sylancr 
 |-  ( ( I e. V /\ R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) -> ( x e. ( Base ` R ) , y e. { I } |-> y ) e. _V )
7 1 lmodvsca 
 |-  ( ( x e. ( Base ` R ) , y e. { I } |-> y ) e. _V -> ( x e. ( Base ` R ) , y e. { I } |-> y ) = ( .s ` M ) )
8 6 7 syl 
 |-  ( ( I e. V /\ R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) -> ( x e. ( Base ` R ) , y e. { I } |-> y ) = ( .s ` M ) )
9 8 eqcomd 
 |-  ( ( I e. V /\ R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) -> ( .s ` M ) = ( x e. ( Base ` R ) , y e. { I } |-> y ) )
10 simprr 
 |-  ( ( ( I e. V /\ R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) /\ ( x = r /\ y = I ) ) -> y = I )
11 simp3 
 |-  ( ( I e. V /\ R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) -> r e. ( Base ` R ) )
12 snidg 
 |-  ( I e. V -> I e. { I } )
13 12 3ad2ant1 
 |-  ( ( I e. V /\ R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) -> I e. { I } )
14 9 10 11 13 13 ovmpod 
 |-  ( ( I e. V /\ R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) -> ( r ( .s ` M ) I ) = I )
15 14 13 eqeltrd 
 |-  ( ( I e. V /\ R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) -> ( r ( .s ` M ) I ) e. { I } )