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## Theorem lnopeq0lem2

Description: Lemma for lnopeq0i . (Contributed by NM, 26-Jul-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypothesis lnopeq0.1
`|- T e. LinOp`
Assertion lnopeq0lem2
`|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( T ` A ) .ih B ) = ( ( ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lnopeq0.1
` |-  T e. LinOp`
2 fveq2
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` A ) = ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) )`
3 2 oveq1d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` A ) .ih B ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) )`
4 fvoveq1
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` ( A +h B ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) )`
5 oveq1
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A +h B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) )`
6 4 5 oveq12d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) )`
7 fvoveq1
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` ( A -h B ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) )`
8 oveq1
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A -h B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) )`
9 7 8 oveq12d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) )`
10 6 9 oveq12d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) = ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) )`
11 fvoveq1
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) )`
12 oveq1
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A +h ( _i .h B ) ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) )`
13 11 12 oveq12d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) )`
14 fvoveq1
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) )`
15 oveq1
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A -h ( _i .h B ) ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) )`
16 14 15 oveq12d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) )`
17 13 16 oveq12d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) = ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) )`
18 17 oveq2d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) = ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) )`
19 10 18 oveq12d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) )`
20 19 oveq1d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) )`
21 3 20 eqeq12d
` |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( T ` A ) .ih B ) = ( ( ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) <-> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) ) )`
22 oveq2
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )`
23 oveq2
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )`
24 23 fveq2d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )`
25 24 23 oveq12d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )`
26 oveq2
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )`
27 26 fveq2d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )`
28 27 26 oveq12d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )`
29 25 28 oveq12d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) = ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )`
30 oveq2
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( _i .h B ) = ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )`
31 30 oveq2d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )`
32 31 fveq2d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )`
33 32 31 oveq12d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )`
34 30 oveq2d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )`
35 34 fveq2d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )`
36 35 34 oveq12d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )`
37 33 36 oveq12d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) = ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) )`
38 37 oveq2d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) = ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) ) )`
39 29 38 oveq12d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) ) ) )`
40 39 oveq1d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) ) ) / 4 ) )`
41 22 40 eqeq12d
` |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) <-> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) ) ) / 4 ) ) )`
42 ifhvhv0
` |-  if ( A e. ~H , A , 0h ) e. ~H`
43 ifhvhv0
` |-  if ( B e. ~H , B , 0h ) e. ~H`
44 1 42 43 lnopeq0lem1
` |-  ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) ) ) / 4 )`
45 21 41 44 dedth2h
` |-  ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( T ` A ) .ih B ) = ( ( ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) )`