Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rabdiophlem1 |
|- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) -> A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) A e. ZZ ) |
2 |
|
rabdiophlem1 |
|- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) -> A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) B e. ZZ ) |
3 |
|
znnsub |
|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) ) |
4 |
3
|
ralimi |
|- ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) ) |
5 |
|
r19.26 |
|- ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) <-> ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) A e. ZZ /\ A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) B e. ZZ ) ) |
6 |
|
rabbi |
|- ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) <-> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A < B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( B - A ) e. NN } ) |
7 |
4 5 6
|
3imtr3i |
|- ( ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) A e. ZZ /\ A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) B e. ZZ ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A < B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( B - A ) e. NN } ) |
8 |
1 2 7
|
syl2an |
|- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A < B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( B - A ) e. NN } ) |
9 |
8
|
3adant1 |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A < B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( B - A ) e. NN } ) |
10 |
|
simp1 |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN0 ) |
11 |
|
mzpsubmpt |
|- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( B - A ) ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) |
12 |
11
|
ancoms |
|- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( B - A ) ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) |
13 |
12
|
3adant1 |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( B - A ) ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) |
14 |
|
elnnrabdioph |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( B - A ) ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( B - A ) e. NN } e. ( Dioph ` N ) ) |
15 |
10 13 14
|
syl2anc |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( B - A ) e. NN } e. ( Dioph ` N ) ) |
16 |
9 15
|
eqeltrd |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A < B } e. ( Dioph ` N ) ) |