Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ltrnel.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
ltrnel.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
3 |
|
ltrnel.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
ltrnel.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
5 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
6 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T ) |
7 |
1 2 3 4
|
ltrnel |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) |
8 |
7
|
3adant2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) |
9 |
1 2 3 4
|
ltrnel |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ -. ( F ` ( G ` P ) ) .<_ W ) ) |
10 |
5 6 8 9
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ -. ( F ` ( G ` P ) ) .<_ W ) ) |