Theorem luk-1

Description: 1 of 3 axioms for propositional calculus due to Lukasiewicz, derived from Meredith's sole axiom. (Contributed by NM, 14-Dec-2002) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	luk-1	|- ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meredith	|- ( ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) )
2		merlem13	|- ( ( ph -> ps ) -> ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) )
3		merlem13	|- ( ( ( ph -> ps ) -> ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( -. -. -. ( ph -> ps ) -> -. ( ph -> ps ) ) ) -> -. -. ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) ) )
4	2 3	ax-mp	|- ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( -. -. -. ( ph -> ps ) -> -. ( ph -> ps ) ) ) -> -. -. ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) )
5		meredith	|- ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( -. -. -. ( ph -> ps ) -> -. ( ph -> ps ) ) ) -> -. -. ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) ) -> ( ( ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
6	4 5	ax-mp	|- ( ( ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) )
7	1 6	ax-mp	|- ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) )