Theorem mapcod

Description: Compose two mappings. (Contributed by SN, 11-Mar-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	mapcod.1	|- ( ph -> F e. ( A ^m B ) )
	mapcod.2	|- ( ph -> G e. ( B ^m C ) )
Assertion	mapcod	|- ( ph -> ( F o. G ) e. ( A ^m C ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapcod.1	|- ( ph -> F e. ( A ^m B ) )
2		mapcod.2	|- ( ph -> G e. ( B ^m C ) )
3		elmapex	|- ( F e. ( A ^m B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
4	1 3	syl	|- ( ph -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
5	4	simpld	|- ( ph -> A e. _V )
6		elmapex	|- ( G e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
7	2 6	syl	|- ( ph -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
8	7	simprd	|- ( ph -> C e. _V )
9		elmapi	|- ( F e. ( A ^m B ) -> F : B --> A )
10	1 9	syl	|- ( ph -> F : B --> A )
11		elmapi	|- ( G e. ( B ^m C ) -> G : C --> B )
12	2 11	syl	|- ( ph -> G : C --> B )
13	10 12	fcod	|- ( ph -> ( F o. G ) : C --> A )
14	5 8 13	elmapdd	|- ( ph -> ( F o. G ) e. ( A ^m C ) )