Theorem mnupwd

Description: Minimal universes are closed under powersets. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	mnupwd.1	|- M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
	mnupwd.2	|- ( ph -> U e. M )
	mnupwd.3	|- ( ph -> A e. U )
Assertion	mnupwd	|- ( ph -> ~P A e. U )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnupwd.1	|- M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
2		mnupwd.2	|- ( ph -> U e. M )
3		mnupwd.3	|- ( ph -> A e. U )
4		0ex	|- (/) e. _V
5	4	a1i	|- ( ph -> (/) e. _V )
6	1 2 3 5	mnuop23d	|- ( ph -> E. w e. U ( ~P A C_ w /\ A. i e. A ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. (/) ) -> E. u e. (/) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) )
7		simpl	|- ( ( ~P A C_ w /\ A. i e. A ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. (/) ) -> E. u e. (/) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) -> ~P A C_ w )
8	7	reximi	|- ( E. w e. U ( ~P A C_ w /\ A. i e. A ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. (/) ) -> E. u e. (/) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) -> E. w e. U ~P A C_ w )
9	6 8	syl	|- ( ph -> E. w e. U ~P A C_ w )
10	1 2 9	mnuss2d	|- ( ph -> ~P A e. U )