Theorem mnuss2d

Description: mnussd with arguments provided with an existential quantifier. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	mnuss2d.1	|- M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
	mnuss2d.2	|- ( ph -> U e. M )
	mnuss2d.3	|- ( ph -> E. x e. U A C_ x )
Assertion	mnuss2d	|- ( ph -> A e. U )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnuss2d.1	|- M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
2		mnuss2d.2	|- ( ph -> U e. M )
3		mnuss2d.3	|- ( ph -> E. x e. U A C_ x )
4	2	adantr	|- ( ( ph /\ ( x e. U /\ A C_ x ) ) -> U e. M )
5		simprl	|- ( ( ph /\ ( x e. U /\ A C_ x ) ) -> x e. U )
6		simprr	|- ( ( ph /\ ( x e. U /\ A C_ x ) ) -> A C_ x )
7	1 4 5 6	mnussd	|- ( ( ph /\ ( x e. U /\ A C_ x ) ) -> A e. U )
8	3 7	rexlimddv	|- ( ph -> A e. U )