Theorem moel

Description: "At most one" element in a set. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jul-2018)

	Ref	Expression
Assertion	moel	|- ( E* x x e. A <-> A. x e. A A. y e. A x = y )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom4	|- ( A. x e. A A. y ( y e. A -> x = y ) <-> A. y A. x e. A ( y e. A -> x = y ) )
2		df-ral	|- ( A. y e. A x = y <-> A. y ( y e. A -> x = y ) )
3	2	ralbii	|- ( A. x e. A A. y e. A x = y <-> A. x e. A A. y ( y e. A -> x = y ) )
4		alcom	|- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> A. y A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
5		eleq1w	|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
6	5	mo4	|- ( E* x x e. A <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
7		df-ral	|- ( A. x e. A ( y e. A -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
8		impexp	|- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
9	8	albii	|- ( A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
10	7 9	bitr4i	|- ( A. x e. A ( y e. A -> x = y ) <-> A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
11	10	albii	|- ( A. y A. x e. A ( y e. A -> x = y ) <-> A. y A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
12	4 6 11	3bitr4i	|- ( E* x x e. A <-> A. y A. x e. A ( y e. A -> x = y ) )
13	1 3 12	3bitr4ri	|- ( E* x x e. A <-> A. x e. A A. y e. A x = y )