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Theorem moelOLD

Description: Obsolete version of moel as of 23-Nov-2024. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jul-2018) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion moelOLD 
|- ( E* x x e. A <-> A. x e. A A. y e. A x = y )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ralcom4 
 |-  ( A. x e. A A. y ( y e. A -> x = y ) <-> A. y A. x e. A ( y e. A -> x = y ) )
2 df-ral 
 |-  ( A. y e. A x = y <-> A. y ( y e. A -> x = y ) )
3 2 ralbii 
 |-  ( A. x e. A A. y e. A x = y <-> A. x e. A A. y ( y e. A -> x = y ) )
4 alcom 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> A. y A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
5 eleq1w 
 |-  ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
6 5 mo4 
 |-  ( E* x x e. A <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
7 df-ral 
 |-  ( A. x e. A ( y e. A -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
8 impexp 
 |-  ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
9 8 albii 
 |-  ( A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( y e. A -> x = y ) ) )
10 7 9 bitr4i 
 |-  ( A. x e. A ( y e. A -> x = y ) <-> A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
11 10 albii 
 |-  ( A. y A. x e. A ( y e. A -> x = y ) <-> A. y A. x ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x = y ) )
12 4 6 11 3bitr4i 
 |-  ( E* x x e. A <-> A. y A. x e. A ( y e. A -> x = y ) )
13 1 3 12 3bitr4ri 
 |-  ( E* x x e. A <-> A. x e. A A. y e. A x = y )